És possible elaborar un llibre web de matemàtiques?

Fa un parell d’anys, en el centre on treballo vam començar amb una línia de batxillerat. A l’ESO, pel que fa a les matemàtiques, treballem amb els materials gratuïts del Proyecto Edad del Ministerio de Educación y Ciencia. Aquests llibres web, apart de ser molt complets, la versió catalana existeix de 1r a 4t d’ESO i es va actualitzant molt sovint.

Sóc de la opinió que la factura que paguen els nostres alumnes pel que fa al materials d’estudi és sovint molt elevada. Els llibres de text cada vegada són més cars i sovint no es fan servir del tot, a vegades perquè el professor només l’utilitza de consulta o perquè els continguts del llibre són tant enciclopèdics que és impossible dur-los a terme durant un curs escolar. D’altra banda, la xarxa està plena de materials gratuïts, alguns de molt bona qualitat, que es poden utilitzar amb igual profit que un llibre. No parlaré aquí de l’aprenentatge basat en projectes (ABP) on la metodologia fa que el llibre de text tal com l’hem entès fins ara perdi sentit, i sigui el professor o el centre qui elabori els materials adequats (tot i que actualment algunes editorials ja estan treballant en aquest sentit, per exemple l’editorial Teide).

Tornant al principi, em vaig estar mirant diversos llibres de text per a dur a terme les matemàtiques de 1r de batxillerat científico-tecnològic. Cap llibre em va convèncer i a més, eren tots molt cars. És per això que vaig decidir elaborar els meus propis materials.

Les eines

Abans de tot vaig començar a explorar les eines necessàries per a dur a terme el meu projecte. Crear un llibre web de matemàtiques té la seva complicació, ja que apart d’un editor de text és del tot necessari un editor d’equacions potent així com un programa d’edició de gràfics flexible i a poder ser,  que els gràfics siguin també dinàmics i interactius. D’altra banda, volia que l’estètica també fos agradable, ja que sovint els apunts de matemàtiques que es troben per la xarxa són molt densos i no entren gens per la vista.

MkDocs

L’eina triada per elaborar els apunts va ser MkDocs. Aquest és un generador de webs estàtic pensat per elaborar documentacions de projectes. La seva estètica és molt cuidada i disposa de vàries plantilles que l’usuari pot adaptar. Es pot instal.lar fàcilment a les 3 plataformes (Linux, MacOS, Windows) i un cop instal.lat et genera una web estàtica en local a l’ordinador.

Markdown

Un dels punts forts d’aquesta eina és que les pàgines web s’escriuen en llenguatge Markdown. Aquest és un llenguatge senzill que permet traduir qualsevol text a llenguatge HTML.  Només cal aprendre quatre regles bàsiques per a formatar títols, llistes i taules. Per editar els fitxers Markdown, vaig utilitzar l’editor de text Atom, però també en podeu trobar d’altres que us funcionin bé.

MathJax

Pel que fa a les equacions, utilitzant el Markdown es pot utilitzar l’extensió MathJax que permet inserir equacions en llenguatge Latex en el nostre document. Al principi ens pot semblar una sintaxi complexa, però quan hi estem avessats resulta molt fàcil escriure qualsevol tipus d’equació. De fet, el moodle i altres plataformes també inclouen editors de Latex en els seus sistemes.

Geogebra

A partir d’aquí només em faltava un editor de gràfics potent, que em transformés els gràfics locals en gràfics dinàmics que es poguessin insertar via web. Amb el Geogebra tot això és possible. El Geogebra és un generador de gràfics (entre altres) amb moltes possibilitats (potser en algun altre post en parlaré més extensament). La versió clàssica es pot instal.lar per a totes les plataformes. Un cop creats els nostres gràfics en local es poden exportar al repositori de materials de Geogebra i posteriorment els podem inserir en el nostre lloc web.

Github pages

A partir d’aquí només ens falta una eina més per a tenir llesta la nostra web. Necessitem un servidor on penjar els nostres continguts. Hi ha vàries opcions de servidors web però potser una opció gratuïta i fàcil de fer servir és el Github pages. Aquesta eina ens permet pujar els nostres continguts web al núvol i permet treballar en equip en un mateix projecte establint un control de versions per a totes les modificacions.

El resultat

Amb totes aquestes eines apunt i funcionant, durant 2 anys vaig elaborar el llibre web de matemàtiques de 1r i 2n de batxillerat científic-tecnològic:

mates1batmates2bat

Es poden veure també els originals en markdown al meu Github pages. Per exemple, el tema 7, vectors a l’espai de 2n de batxillerat, té aquesta aparença si mirem el fitxer en brut de markdown.

Els materials són d’ús lliure subjectes a una llicència creative-commons no comercial i de compartir per igual. Si us decidiu de fer servir aquests apunts, és possible que hi trobeu algun error (de fet, de tant en tant algú me’n corregeix), si me’l notifiqueu molt millor i així el podré esmenar.

 

Visual Thinking

Des del centre, com a coordinadora TAC, em van demanar de fer un petit taller d’eines per elaborar mapes conceptuals i infografies. Després de bucejar una mica per internet, i seguint els meus interessos, vaig arribar a la conclusió que aquestes dues coses formaven part d’una categoria molt més àmplia: el visual thinking o pensament visual. La idea no és nova i bàsicament significa expressar una determinada informació o idea mitjançant dibuixos i esquemes. Això es recolza en el fet que la persona reté molta més informació amb una imatge i quatre idees clau sintètiques que no pas llegint tot un text (de fet, aquesta entrada de blog ja veieu que és una contradicció en si mateixa perquè no deixa de ser un text! :).

A partir d’aquí vaig intentar concretar una mica com podem aprofitar-nos del visual thinking des d’un punt de vista educatiu. Vaig trobar una entrada de blog interessant on en parlava de manera molt clara. Surfejant encara més, vaig veure que hi havia des del desembre un MOOC titulat visual thinking en el aula, engegat pel Ministerio de Educación. Per tant, el tema es mou i interessa a la comunitat educativa!

Per intentar documentar-me més per fer el taller, vaig explorar diversos exemples on s’expressava la informació d’una manera visual i senzilla. Em va encantar el projecte Explained visually que intenta expressar conceptes majoritàriament matemàtics d’una manera gràfica i dinàmica. El creador, l’enginyer Bret Victor, té una web farcida d’idees, no us la perdeu: worrydream.com. De fet, en el seu CV es posa com a objectiu ‘inventar un mitjà a partir del qual els pensadors del proper segle puguin entendre i crear sistemes.’ Molt interessant també el seu projecte Kill Math, que intenta donar una visió més gràfica de les matemàtiques per a fer-les entenedores per a un públic més extens i no només a aquells que se’n surten bé amb el llenguatge simbòlic i algebraic.

Tornant al taller, per a preparar-lo vaig pensar que la millor manera era fer un mapa conceptual amb les idees que volia expressar. Vaig utilitzar l’eina sketchboard, que em va semblar senzilla d’utilitzar amb una versió gratuïta bastant decent. I vaig elaborar el mapa que trobeu en aquest post. Si cliqueu la imatge, podreu veure exemples de visual thinking de les diferents matèries i també algunes eines útils gratuïtes per elaborar infografies, mapes conceptuals, pòsters i presentacions interactives.visual-thinking-and-education.png

Com entenem l’avaluació?

Estem a final de curs i els nostres fills i filles arriben a casa amb el butlletí de notes d’enguany. Algunes escoles han canviat els ítems de qualificació aquest tercer trimestre i els pares ens tornarem a quedar més o menys perplexos. A alguns ens pot semblar que això és una altra operació de maquillatge més del nostre sistema educatiu, actualment a debat, amb moltes iniciatives com és ara Escola Nova 21 .

Dit això, el Departament d’Ensenyament ha publicat la infografia L’avaluació a l’educació primària. En general ens pensem que l’avaluació consisteix en posar notes que deriven en un butlletí a final de trimestre. Però aquesta creença és totalment falsa, o almenys, hauria de ser-ho. L’esmentat document va dirigit als pares i explica què s’entén per avaluar. A la primera pàgina hi figura l’avaluació per competències separant-les en els diferents àmbits. No estic massa d’acord que l’àmbit lingüístic, per exemple, es treballi només dins les àrees de llengua o que l’àmbit matemàtic es treballi i s’avaluï dins la matèria de matemàtiques. Aquestes competències i altres es treballen transversalment en totes les àrees o projectes, tot i que en la matèria citada, se’n faci un aprenentatge més profund. És també curiós que l’educació en valors es treballi només a religió o alternativa!

Més endavant, s’explica què comporta avaluar donant-ne dues pistes molt minses:

  • L’avaluació formativa com a reguladora dins del procés d’ensenyament-aprenentatge de l’alumne i
  • L’avaluació qualificadora com a valoració final d’aquest procés.

Segons el Departament, aquests dos tipus d’avaluació serveixen per a recollir informació del procés educatiu de cada alumne i poder-ne identificar els avenços i les dificultats per a finalment prendre les mesures adequades. No m’agrada gaire el fet que el document parli de l’avaluació des de la perspectiva del mestre desenfocant el paper de l’alumne, el principal interessat.

En el mateix document també s’hi llisten diferents instruments d’avaluació: les carpetes d’aprenentatge, les bases d’orientació, la observació sistemàtica, els diaris d’aula, les proves orals i escrites (vaja, els exàmens), la conversa i la rúbrica.

A la pàgina següent hi apareixen, després de citar els diferents canals de comunicació amb les famílies, els ítems que veurem en el butlletí de notes que ens arribarà aquests dies:

  • AE: Assoliment excel.lent
  • AN: Assoliment notable
  • AS: Assoliment satisfactori
  • NA: No assoliment

El document acaba parlant dels plans indivitualitzats (PI) i de la promoció dels alumnes. Pel que fa a això últim, es donen unes directrius molt políticament correctes, però en el món docent tothom sap que la promoció/repetició de curs sovint segueix criteris purament estructurals i estadístics en comptes d’arguments pedagògics, que és el que hauria de ser.

Al meu entendre, la infografia acaba resultant un garbuix d’informacions que el que pretenen és justificar el canvi de nomenclatura dels ítems del butlletí disfressant-lo d’autèntic canvi metodològic. La meva impressió és que un cop més s’han fet les coses a corre-cuita i tapant forats per donar quatre titulars amables als mitjans.


Deixant de banda el document, el referent en avaluació en el nostre país és Neus Sanmartí, doctora en ciències químiques i catedràtica emèrita de didàctica de les ciències per la UAB. En el vídeo es dóna una radiografia molt clara del que significa avaluar. De fet, el vídeo és un petit resum del document Avaluar per aprendre (2010) de la mateixa autora. Tal i com diu el títol, no hi ha aprenentatge sense avaluació: aquest és el principal instrument per a regular el nostre aprenentatge i revisar les nostres idees. En el vídeo també es parla de l’avaluació formativa (durant tot el procés d’aprenentatge) i de l’avaluació final, que certifica (o no) si hem après i ens serveix per reconèixer les nostres pròpies limitacions. Però també ens fa notar una cosa molt important: posa el focus en l’alumne i ens parla de la importància de l’autoavaluació (el mestre no és l’únic que certifica si hem après o no) i la coavaluació (avaluació entre iguals). Un aprenentatge amb garanties requereix aquests dos últims aspectes i a més, dota d’autonomia als alumnes: si els diem sempre on s’han equivocat creem alumnes dependents. Tanca l’entrevista recalcant que calen uns criteris d’avaluació clars i sabuts per a tothom i que el canvi en l’avaluació és fonamental per a canviar tot el sistema educatiu.

Rúbrica d’avaluació d’un projecte Scratch

Com avaluar un projecte Scratch tenint en compte tots els aspectes implicats en la seva elaboració? És una pregunta ben difícil que he trigat temps a poder respondre amb més o menys encert. És clar, cada projecte Scratch és diferent, i també l’edat de l’infant a l’hora de realitzar-lo hi té molt a veure. En aquest post intentaré donar pistes de com ho podem fer presentant un exemple concret.

El passat 6 de maig vaig participar al Robolot 2017 organitzant el segon repte Codeclub Robolot. El repte anava dirigit a estudiants de 3r fins a 6è de primària i l’objectiu era desenvolupar un petit projecte d’Scratch durant un temps determinat. Enguany, el repte que es proposava era construir un conte. L’estructura era bastant lliure però necessàriament el conte havia de començar amb la frase ‘Hi havia una vegada una guineu, un escarabat i una granota’ i havia d’acabar així: ‘i mai més ningú no en va saber res’. Podeu trobar el text íntegre del repte en aquest enllaç. La jornada va ser molt entretinguda i hi van participar un total de 26 nens i nenes que van programar durant 3 hores històries molt originals.

repte_robolot2017
Participants al repte Codeclub Robolot 2017

Així doncs calia avaluar els diferents projectes per tal de determinar-ne els guanyadors. La manera més simple i justa de fer una cosa com aquesta és elaborant una rúbrica. La rúbrica ens permet definir quins són els aspectes més rellevants d’un projecte i establir-ne una escala de valoració, que normalment va de 0 a 4. En el nostre cas, volíem avaluar tant la creativitat a l’hora d’escriure la història, en escollir els personatges i els escenaris com aspectes més tècnics referents a la programació. Després de pensar-ho molt, vam escriure la rúbrica següent:

Rúbrica d’avaluació del projecte Scratch ‘Creeu un conte’
Puntuació/Ítems Gens treballat (0) Poc treballat (1) Acceptable (2) Bé (3) Excel.lent (4)
Creativitat
El conte és copiat o reinventat d’un altre conte
El conte és massa semblant a un conte ja existent sense la incorporació de nous elements
La idea parteix d’un conte ja existent però s’hi afegeixen elements nous de collita pròpia
La idea del conte és original
El conte és totalment innovador i no parteix de cap conte ja creat
Escenaris
S’utilitza un sol escenari
S’utilitzen diferents escenaris però sense massa sentit
S’utilitzen varis escenaris amb una funció concreta. No hi ha ni pantalla d’inici ni de final
S’utilitzen varis escenaris amb una funció concreta. Hi ha una pantalla d’inici o bé una de final
S’utilitzen diferents escenaris per diferenciar diferents etapes del conte, incloent un escenari per a la pantalla inicial i un escenari per la pantalla final
Personatges
S’utilitzen personatges estàtics (sense canvi de vestit). Algun personatge no té funció específica
S’utilitza algun canvi de vestit però els personatges continuen semblant estàtics
S’utilitzen els canvis de vestit justos per a donar una lleugera sensació de moviment
S’utilitzen canvis de vestit per a donar sensació de moviment
S’utilitzen els canvis de vestit idonis per a donar sensació de moviment real als personatges adequada a cada situació del joc
Programació del conte
La programació del conte és totalment insuficient. El conte no aconsegueix l’objectiu desitjat
Hi ha algunes incorreccions en la programació del conte que fa que hi hagi alguns errors. Molts blocs no són adequats i/o es podrien simplificar
El conte funciona però hi ha 2 o 3 blocs que es podrien suprimir per fer l’estructura més simple
El conte funciona però hi ha algun bloc que s’hauria de suprimir o simplificar per fer una estructura més simple
Utilitza els blocs necessaris amb molta eficàcia i eficiència
Ús de variables
No utilitza variables
Utilitza variables però de manera incorrecta
Utilitza una variable de manera correcta
Utilitza dues variables de manera correcta
Utilitza tres o més variables de manera correcta
Ús de condicionals
No utilitza condicionals
Utilitza condicionals però de manera incorrecta
Utilitza un bloc condicional de manera correcta
Utilitza dos blocs condicionals de manera correcta
Utilitza més de dos blocs condicionals de manera correcta
Trama argumental del conte
El conte no té cap trama argumental
La trama argumental és massa simple i inconnexa
Hi ha una trama argumental senzilla
La trama argumental és elaborada però no se’n diferencien les diferents parts
El conte té una trama argumental molt rica i se’n diferencien les diferents parts
Instruccions de funcionament
No hi ha instruccions de funcionament
Les instruccions són insuficients
Les instruccions del conte són correctes
Les instruccions del conte són clares i estan ben explicades
Les instruccions del conte són riques i explicades amb detall
Compleció del conte
El conte no està quasi ni començat
El conte no està acabat
El conte està acabat però hi ha alguns detalls que serien millorables
El conte està acabat
El conte funciona perfectament i està totalment acabat amb vàries etapes a la trama

D’aquesta manera, el jurat va poder valorar els treballs i deliberar seguint uns criteris ben  objectius. L’avantatge d’escriure una rúbrica també, és que un cop utilitzada et permet veure si t’has deixat algun aspecte a valorar o al contrari, hi ha algun camp que és totalment superflu. Amb aquesta informació, es pot anar adaptant la rúbrica i per què no, un cop n’hem feta una, no costa gens elaborar-ne una altra per un projecte diferent. També podeu trobar aquí la rúbrica en format fulla de càlcul.

Pensament computacional… Què?

El passat 20 de maig vaig participar a la taula rodona ‘Perspectives de futur del pensament computacional a l’aula’ dins el marc de la IX Jornada de Programació i Robòtica Educatives. Hi va haver un interessant debat, que intentaré resumir més avall. La jornada em va servir per a documentar-me i refrescar conceptes sobre el tema en qüestió.

Primer de tot, val a dir que no hi ha una sola definició del que és el pensament computacional. El terme el va utilitzar per primera vegada Jeannette M. Wing el 2006 en el seu article Computational Thinking. En aquest article, ella defineix el pensament computacional com una habilitat i actitud universal aplicable a tothom, no només als enginyers informàtics. Implica resoldre problemes, dissenyar sistemes i comprendre el comportament humà fent ús dels conceptes fonamentals de la informàtica. També concreta una mica més i afegeix que el pensament computacional significa descomposar un problema complex en problemes més petits i fàcils utilitzant una sèrie de regles i passos (algoritmes) i abstraccions per a generalitzar les solucions a problemes similars.

Buscant altres fonts, segons la ISTE (International Society for Technology Education) i la CSTA (Computer Science Teacher Association), el pensament computacional és un procés per a la resolució de problemes que inclou les característiques següents:

  • Reformular problemes de tal manera que es permeti l’ús d’ordinadors i altres eines per a fer-ho.
  • Organitzar i analitzar un conjunt de dades lògicament.
  • Representar dades a través de l’abstracció utilitzant models i simulacions.
  • Automatitzar la busca de solucions a través del pensament algorítmic (utilitzant una sèrie de passos).
  • Identificar, analitzar i implementar solucions possibles amb l’objectiu de trobar la combinació més eficient i efectiva de passos i recursos.
  • Generalitzar i transferir aquesta manera de solucionar un problema a situacions de diferent índole.

Podem trobar altres definicions, que no són exactes però sí semblants, com la que dóna Chris Stephenson (cap de computer science education a Google):  El pensament computacional és l’aplicació d’eines i tècniques informàtiques (analitzar, modelitzar…) per a la resolució de problemes.

També resulta sorprenent i divertida la definició que en fa Pat Yonpradit (cap de l’oficina acadèmica de code.org): És el raonament que has de fer per tal que un robot netegi sol la teva habitació.

Totes aquestes definicions tenen en comú el fet que el pensament computacional és un tipus de pensament analític molt necessari per a la resolució de problemes de diferent índole i que permet, aplicant estratègies utilitzades en programació, descomposar un problema en altres de més petits, fer-ne una abstracció i trobar-ne vàries solucions. L’única diferència que he trobat entre definicions és que algunes fonts estableixen que l’ús de la programació va lligada intrínsecament al pensament computacional, i altres diuen que no necessàriament. Jo potser estic més a favor d’aquesta última. De fet, tot buscant vaig trobar una plataforma molt interessant, csunplugged.org, plena d’activitats per a treballar el pensament computacional sense l’ús de cap ordinador.

I és que quan parlem de pensament computacional ens estem referint també a un tipus de meta-aprenentatge, molt lligat a la competència d’aprendre a aprendre. En aquest context de societat tecnològica no sabem quines seran les feines del futur. És per això que treballar el pensament computacional amb els nostres alumnes és una manera més per dotar-los d’eines i estratègies per a resoldre problemes futurs.

I què fan altres països al respecte? Als Estats Units, treballar el pensament computacional des de les aules ja fa temps que forma part de l’agenda educativa del pais. I tant és així que s’ha establert una forta col.laboració entre la comunitat educativa i diferents experts en ciències de la computació per a revisar els currículums de les escoles fins a K-12 i incloure de manera transversal activitats que treballin aquest tipus de pensament analític. D’altra banda, aquest país té molt clar que aquesta aposta passa necessàriament per a la formació del professorat, tant dels que ja exerceixen com dels futurs mestres. En el recent article Computational Thinking for Teacher Education, s’explica com dur a terme aquesta formació. Val a dir que diferents empreses tecnològiques com Google, ja tenen cursos específics de formació en pensament computacional per al professorat.

Per acabar, m’agradaria resumir una mica la taula rodona de la Jornada de Programació i Robòtica. La taula estava moderada per Frank Sabaté mestre de l’Escola Projecte, que va resumir els 10 anys d’Scratch, com sempre de manera molt divertida. La Roser Cussó, assessora tècnica docent a l’Àrea TAC del Departament d’Ensenyament, va parlar de diferents iniciatives que s’estan duent a terme des del Departament com és ara el projecte mSchools i de com mica en mica la tecnologia va tenint un paper més important dins les aules de moltes escoles i instituts. En aquest sentit,  en David Llamas, professor de tecnologia a l’Institut Frederic Martí de Palafrugell i impulsor de Robòtica Empordà, va començar a col.laborar amb l’escola El Carrilet de Palafrugell per fer que la programació i la robòtica formessin part del currículum del centre d’una manera natural i estructurada, i ara mateix estan estenent el model a la resta de centres educatius del municipi. Molt interessant va ser la intervenció de Florenci Pla, professor de pensament computacional a la Universitat d’Andorra, on han inclòs una assignatura de pensament computacional en els estudis de grau de mestre que està tenint un gran èxit.

La conversa va ser molt variada i la veritat és que ens hagués faltat una bona estona més per a discutir sobre els diferents aspectes. Es va parlar de com es pot introduir el pensament computacional a totes les escoles, si ha de ser obligatori o no en la formació del professorat. Com a docents tenim una responsabilitat social, d’ensenyar als nostres alumnes allò que pensem que els pot ser útil el dia de demà. Com podem fer que la comunitat educativa adopti el pensament computacional com a quelcom propi i imprescindible per a preparar els alumnes del futur? Potser el Departament en podria fer un desplegament tal i com es va fer en el seu dia amb les competències bàsiques, per exemple.

També es va parlar de dona i tecnologia intentant respondre a la pregunta com és que hi ha tant poca presència femenina en les carreres tècniques. Es van donar múltiples respostes, des de la pressió cultural de la societat en separar nois i noies per rols fins a les diferències entre el cervell masculí i femení. En Jordi Delgado, professor de ciències de la computació a la UPC, va suggerir que potser el fet que els estudis s’anomenin ‘Grau en Enginyeria Informàtica’ fa que no siguin tant atractius per el públic femení.

Finalment també es va parlar de què passa un cop l’alumne arriba a batxillerat. En Marco Antonio Rodríguez, professor de tecnologia a l’Institut Miquel Biada de Mataró va trobar que era una llàstima que, tot i que els alumnes de batxillerat són més madurs i això afavoreix l’aprenentatge de la programació i la robòtica, la pressió per la selectivitat fa que sovint ens quedem curts de temps per poder aprofundir en aquests aspectes.

Un debat molt interessant que en aquest país tot just comença. De ben segur que en podrem continuar parlant sovint.

Per a què serveixen les mates?

Les matemàtiques no serveixen per a res! Amb una sola línia podríem concloure aquest article. I ara, quina bestiesa! I per això he hagut d’estudiar-les durant tants anys?-pensaran alguns.

Què són les matemàtiques?

Abans de decidir-ho, potser que intentem explicar què són i què no són les matemàtiques. Hi ha qui pensa  que les matemàtiques són els números i les seves operacions:  suma, resta, producte, quocient i percentatges.  D’altres creuen que són un conjunt de regles amb una notació molt difícil inspirada en l’alfabet grec, i que acaben amb un seguit de definicions, teoremes i fórmules que cal aprendre de memòria per a resoldre problemes. Molts també es refereixen a les matemàtiques com el llenguatge o l’eina de les ciències. Alguns les defineixen com un art, l’art de l’explicació i el matemàtic és aquell que crea i construeix models i estructures mentals per a solucionar problemes. Sorprenentment, sembla que aquesta última és la seva definició més acurada. I quins són aquests problemes? Doncs per exemple, com trobar el camí més curt que passi per una sèrie de punts distribuïts pel pla.

Què vol dir aprendre matemàtiques?

Aprendre matemàtiques no consisteix en memoritzar certes tècniques aplicades a la resolució de determinats problemes tipificats per tal que un alumne pugui aprovar un examen estàndard. Aprendre matemàtiques va molt més enllà. L’aprenentatge de determinats procediments són útils a l’hora de fer mates, com per exemple aprendre a sumar fraccions, però no són un fi en si mateix, sinó un mitjà, una eina. Segons Lockhart (2009), Aprendre matemàtiques vol dir ser capaç de resoldre un problema formulant diferents hipòtesis, discutint les diferents opcions, per a finalment decidir quina és la millor i arribar a la solució (o no) de manera creativa i raonada. Fer matemàtiques vol dir entre altres coses construir models mentals.

Dit d’una altra manera, és més important el camí a la resolució del problema que no pas el resultat mateix. Moltes vegades els alumnes pregunten: quin és el resultat? I el resultat no és el que més interessa sinó el raonament que un ha fet per arribar-hi.

Però, són importants?

Com justifiquem haver passat bona part de la infantesa a l’escola fent 3 i 4 hores setmanals  de matemàtiques? Potser és que ens serviran quan siguem grans i haguem de treballar? Doncs hi ha qui diu que no, com Dudley (2010), on senyala que per a la majoria d’ocupacions no fan falta coneixements de matemàtiques tret de les quatre operacions bàsiques (cal no confondre però les matemàtiques amb l’aritmètica) i fins i tot, en algunes feines tècniques i d’enginyeria no calen coneixements extensos de matemàtiques.

Tot i això són molt importants perquè són un via per aprendre a aprendre: les matemàtiques són la millor manera de desenvolupar la capacitat de raonar. Les matemàtiques fan créixer el poder d’argumentar, de pensar detingudament i de trobar el millor camí per a resoldre les dificultats del dia a dia, laborals o no.

Com quedem doncs?

Les matemàtiques no serveixen per a trobar una bona feina per el dia de demà, ni per lligar, tal com diu Sáez de Cabezón (2014) ni per saber quants animals hi ha en una granja de gallines i conills quan es compten 75 caps i 250 potes, perquè preguntant-li-ho al pagès acabarem abans.

En definitiva, les matemàtiques són una fi en elles mateixes, serveixen per el propi gaudi, per a jugar, per preguntar-se coses, per divertir-se amb la pròpia imaginació i perquè de grans ens permeti tenir un cap ben moblat i afrontar les dificultats del dia a dia amb garanties.